Debreceni Egyetem Matematikai Intézet

Algebrai topológia matematikus MSc hallgatók számára

Előadó: Kozma László egyetemi docens

Tematika:

Általános topológia fogalmak
Topológikus tér (topológia, környezet, topológiák összehasonlítása, altér-topológia, metrikus tér topológiája, zárt halmaz, torlódási pont, halmaz lezártja, sűrű halmazok, belső pont, határpont, külső pont, topológia bázisa), folytonos leképezések és jellemzéseik, konstrukciók topológikus terekkel (faktortopológia, szorzattopológia), kompakt terek (folytonossággal való kapcsolata, metrikus tér esete, Bolzano-Weierstarss tétele, szorzatterek kompaktsága), Hausdorff terek (folytonossággal és kompaktsággal való kapcsolata), összefüggőség és útösszefüggőség.

Homotópia
Homotópiai alapfogalmak: térpárok közötti leképezések homotóp ekvivalenciája, ekvivalencia-reláció tulajdonsága; homotóp ekvivalens leképezések kompozíciója homotóp ekvivalens, egy pontra összehúzható terek, terek homotóp ekvivalenciája, gömbfelületen adott függvény kiterjeszthetősége a gömbtestre, jellemzése;

Retrakciók és deformációk: a tér egy altere retrakt, gyenge retrakt, altér deformációja, a tér deformálható egy altérbe, ha az altér inklúziójának van homotópia inverze; gyenge retrakt deformált, erős retrakt-deformált, folytonos leképezés hengere, két tér homotóp ekvivalens, ha köztük ható folytonos függvény hengerének gyenge rektrakt deformáltja.

A fundamentális (Poincare) csoport: pályák, pályák kompozíciója, homotóp ekvivalens pályák kompozíciója homotóp ekvivalensek, fundamentális csoport: zárt pályák homotópiai osztályai csoportot alkotnak, két tér között folytonos leképezés a fundamentális csoportok közötti homomorfizmust határoz meg, az indukált homomorfizmus felcserélhető a kompozícióval, homeomorfizmus izomorfizmust indukál, homotóp ekvivalens leképezések ugyanazt a csoport izomorfizmust indukálják, négyzeten folytonos függvény eseténa néhyezten való körüljárás a a fundamentális csoport zéruselemét indukálja, összeköthető pontok fundamentális csoportjai izomorfak, homotópikusan ekvivalens leképezések eseétn adott képpontjiabna a fundamentális csoportok izomorfak, homotóp ekvivalen útösszefüggő terek fundamentális csoportjai izomorfak, példa: R^n fundamentális csoportja triviális, gömbfelületek fundamentális csoportjai, zárt pályák fokszáma: homotóp ekvivalens zárt pályák fokszáma azonos, a fokszám-leképezés izomorfizmus.

Abszolút homotópia csoportok, relatív homotópia: négyzeten értelmezett folytonos leképezések kompozíciója, homotóp ekvivalensek ilyen leképezések kompozíciója is homotóp ekvivalens, n-dimensziós homotópiaosztályok,

Homológia csoportok
A homológikus algebra elemei, szimpliciális komplexusok, topológikus terek szinguláris homológiája, relatív homológia csoportok.

Kohomológia csoportok
Kohomológikus algebra, formák de Rham kohomológiája, sokaságok kohomológiája.

Ajánlott irodalom:
Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2002
Kozma László: Az algebrai topológia elemei, jegyzet, 1998